圆锥曲线的定点、定值、最值

§圆锥曲线的定点、定值、最值　　

1、过抛物线　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (p>0)的顶点任意作两条互相垂直的弦　 　　　、　 　　　，求证：　 　　　交抛物线的对称轴上一定点. 　　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A

　　　　

B

　　　　

y

　　　　

O

　　　　

x

　　　　 　

　 　

2、已知A、B是抛物线　 　　　 (p>0)上异于原点O的两个不同点，　　

直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且　 　　　时，　　

证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。　　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

3、设　 　　　分别为椭圆　 　　　的左右焦点。　　

（1）若椭圆　 　　　上的点　 　　　到　 　　　两点的距离之和等于4，写出椭圆　 　　　的方程和焦点坐标；　　

（2）设点　 　　　是（1）中所得椭圆上的动点，求线段　 　　　的中点的轨迹方程；　　

（3）已知椭圆具有性质：若　 　　　是椭圆　 　　　上关于原点对称的两个点，点　 　　　是椭圆上任意一点，当直线　 　　　的斜率都存在，并记为　 　　　时，那么　 　　　之积是与点　 　　　位置无关的定值。试对双曲线　 　　　写出具有类似特性的性质，并加证明。　　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

4、（　 　　　全国Ⅱ）已知抛物线　 　　　的焦点为　 　　　，　 　　　、　 　　　是抛物线上的两动点，且　 　　　（　 　　　）．过　 　　　、　 　　　两点分别作抛物线的切线，设其交点为　 　　　．　　

（Ⅰ）证明　 　　　为定值；　　

（Ⅱ）设　 　　　的面积为　 　　　，写出　 　　　的表达式，并求　 　　　的最小值． 　　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

5、（07山东）已知椭圆　 　　　的中心在坐标原点，焦点在　 　　　轴上，椭圆　 　　　上的点到焦点距离的最大值为　 　　　，最小值为　 　　　．　　

（Ⅰ）求椭圆　 　　　的标准方程；　　

（Ⅱ）若直线　 　　　：　 　　　与椭圆　 　　　相交于　 　　　，　 　　　两点（　 　　　不是左右顶点），且以　 　　　为直径的圆过椭圆　 　　　的右顶点，求证：直线　 　　　过定点，并求出该定点的坐标．　　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

6、椭圆　 　　　上的两个动点　 　　　及定点　 　　　 ，　 　　　为椭圆左焦点，且　 　　　，　 　　　，　 　　　成等差数列.　　

　　　　求证：线段　 　　　的垂直平分线经过一个定点　 　　　；　　

　　　　设点　 　　　关于原点　 　　　的对称点是　 　　　，求　 　　　的最小值及相应的　 　　　点坐标.　　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

7、(　 　　　全国Ⅰ）已知椭圆的中心为坐标原点　 　　　，焦点在　 　　　轴上，斜率为　 　　　且过椭圆右焦点　 　　　的直线交椭圆于　 　　　、　 　　　两点，　 　　　与　 　　　共线。　　

（Ⅰ）求椭圆的离心率；　　

（Ⅱ）设　 　　　为椭圆上任意一点，且　 　　　　　　　，证明　 　　　为定值.　　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　　　　　　　　

8、（　 　　　重庆文）如图，倾斜角为　 　　　的直线经过抛物线　 　　　的焦点　 　　　，且与抛物线交于　 　　　、　 　　　两点.　　

　　　　求抛物线的焦点　 　　　的坐标及准线　 　　　的方程；　　

　　　　若　 　　　为锐角，作线段　 　　　的垂直平分线　 　　　交　 　　　轴于点　 　　　，　　

证明:　 　　　为定值，并求此定值.　　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

9、(　 　　　全国Ⅱ)　 　　　、　 　　　、　 　　　、　 　　　四点都在椭圆　 　　　上，　 　　　为椭圆在　 　　　轴正半轴上的焦点．已知　 　　　与　 　　　共线，　 　　　与　 　　　共线，且　 　　　．求四边形　 　　　的面积的最小值和最大值．　　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

10、（　 　　　广东）在平面直角坐标系　 　　　中，抛物线　 　　　上异于坐标原点　 　　　的两不同动点　 　　　、　 　　　满足　 　　　．　　

（Ⅰ）求　 　　　得重心　 　　　的轨迹方程；　　

（Ⅱ）　 　　　的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．　　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

§圆锥曲线的定点、定值、最值——参考解答　　

　 　

1、解析：以抛物线　 　　　为例。不妨设　 　　　，　 　　　则直线　 　　　的斜率是　 　　　。于是　 　　　，　　

即 　　　　，　　

又　 　　　　　

因而，直线方程为　 　　　，令　 　　　得　 　　　　　

　　　　恒过定点　 　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A

　　　　

B

　　　　

y

　　　　

O

　　　　

x

　　　2、解：设A（　 　　　），B（　 　　　），则

　　　　，代入　 　　　　　

得　 　　　      　　

  （1）又设直线AB的方程为　 　　　，则　　

　　　　　　

∴　 　　　，代入（1）式得　 　　　∴直线AB的方程为　 　　　      ∴直线AB过定点（-　 　　　　　

3、解：（1）椭圆方程为　 　　　，焦点坐标为　 　　　；（2）线段　 　　　的中点的轨迹方程　 　　　；（3）类似特性的性质：若　 　　　是双曲线　 　　　：　 　　　上关于原点对称的两个点，点　 　　　是双曲线上任意一点，当直线　 　　　的斜率都存在，并记为　 　　　时，那么　 　　　之积是与点　 　　　位置无关的定值。

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设点　 　　　的坐标为　 　　　，点　 　　　的坐标为　 　　　，其中　 　　　，又设点　 　　　的坐标为　 　　　，由　 　　　得　 　　　，将　 　　　，　 　　　代入上式得　 　　　。　　

　 　

　 　

4、解：（I）由已知条件，得F（0，1），＞0. 设A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂).由=λ，　　

即得（－x₁, 1－y₁）=λ(x₂,y₂－1)，　 　　　　　

将①式两边平方并把代入得 y₁=y₂ ③　　

解②、③式得y₁=, y₂=,且有x₁ x₂==－4y₂=－4.抛物线方程为

求导得　　

所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是　　

即  ，.　　

解出两条切线的交点 M 的坐标为（）=（－1）.　　

所以  ·=（－2）·（x₂－x₁,y₂－y₁）=()－2(－)=0　　

所以  ·为定值，真值为0.　　

（II）由（I）知在△ABM 中，FM⊥AB，因而.　　

=====.因为|AF|、|BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y=－1 的距离，　　

所以|AB|=|AF|+|BF|=y₁+y₂+2=+2=（）.　　

于是=（）  由≥2，知S≥4.　　

且当=1时，S取得最小值4.  　　

5、解析：(I)由题意设椭圆的标准方程为　 　　　　　

　　　　，　 　　　  　　　　　　

 (II)设　 　　　，由　 　　　得　　

　　　　，　　

　　　　，　 　　　.　　

　　　　　　

　　　　　　

　　　　以AB为直径的圆过椭圆的右顶点　 　　　　　　　，　　

　　　　，　 　　　，　　

　　　　，　　

　　　　，解得　 　　　，且满足　 　　　.　　

当　 　　　时，　 　　　，直线过定点　 　　　与已知矛盾；　　

当　 　　　时，　 　　　，直线过定点　 　　　　　

综上可知，直线　 　　　过定点，定点坐标为　 　　　　　

6、证明：设　 　　　知　 　　　同理　 　　　　　　　　　

①当　 　　　，从而有　 　　　  设线段PQ的中点为　 　　　，　　

得线段PQ的中垂线方程为　 　　　　　　　　　

②当　 　　　线段PQ的中垂线是x轴，　　

也过点　 　　　（2）　　

由　 　　　　　

　　　　，　 　　　　　

7、（1）解：设椭圆方程为　 　　　 （a>b>0），A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂) ，AB的中点为N(x₀,y₀)，

　　　　　　　　，两式相减及　 　　　得到　 　　　，所以直线ON的方向向量为　 　　　，∵ 　　　　，　 　　　　　　　，即　 　　　，从而得　 　　　

 （2）证明 ∵ 　　　　，　 　　　椭圆方程为　 　　　，又直线方程为　 　　　

　　　　  　　　　　　　　

　　　　  　　　　

又设M（x，y），则由　 　　　得　 　　　，代入椭圆方程整理得　 　　　又∵ 　　　　，　 　　　，　 　　　 

　　　　    　　　　

8、　 　　　　　（Ⅰ）设抛物线的标准方程为　 　　　，则　 　　　，从而　 　　　　　

因此焦点　 　　　的坐标为（2，0）.　　

又准线方程的一般式为　 　　　。从而所求准线l的方程为　 　　　。　　

（Ⅱ）解法一：如图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.记A、B的横坐标分别为　 　　　，则　　

|FA|＝|AC|＝　 　　　　　　　解得　 　　　，类似地有　 　　　，解得　 　　　。　　　

记直线m与AB的交点为E，则　　

　　　　 　　

   所以　 　　　。　故　 　　　。　　

解法二：设　 　　　，　 　　　，直线AB的斜率为　 　　　，则直线方程为　 　　　。　　

　将此式代入　 　　　,得　 　　　，故　 　　　。　　

　记直线m与AB的交点为　 　　　，则　 　　　， 　　　　，故直线m的方程为　 　　　.　令y=0,得P的横坐标　 　　　　　

　　　　故　　 　　　。  从而　　

　　　　为定值。　　

9、解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0,1），

且PQ　 　　　MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为　 　　　。

又PQ过点F（0,1），故PQ方程为　 　　　，将此式代入椭圆方程得

　　　　

设P、Q两点的坐标分别为　 　　　、　 　　　，则　 　　　，　 　　　 

从而　 　　　，　 　　　

（1）当　 　　　时，MN的斜率为－　 　　　，同上可推得　 　　　

故四边形的面积　 　　　令　 　　　，

得　 　　　因为　 　　　，

当　 　　　时，　 　　　，且S是以　 　　　为自变量的增函数，所以　 　　　

（2）当　 　　　时，MN为椭圆长轴，　 　　　，　 　　　

　　　　综合（1），（2）知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为　 　　　

10、解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

则　 　　　    …（1）

∵OA⊥OB，即　 　　　，　……(2)

又点A，B在抛物线上，有　 　　　，代入（2）化简得　 　　　

∴　 　　　，

所以重心为G的轨迹方程为　 　　　．

（II）　 　　　

由（I）得　 　　　

　　　　

当且仅当　 　　　即　 　　　时，　 　　　．

所以△AOB的面积存在最小值，且最小值为1