§1.2.2复合函数的求导法则

§　1.2.2　复合函数的求导法则　　

教学目标   理解并掌握复合函数的求导法则．　　

教学重点   复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．　　

教学难点   正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．　　

一．创设情景　　

（一）基本初等函数的导数公式表　　

　 　

函数	导数

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

（二）导数的运算法则　　

导数运算法则

1．　 　　　　　 2．　 　　　　　 3．

　 　

（2）推论：　 　　　　　

          （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）　　

二．新课讲授　　

复合函数的概念    一般地，对于两个函数　 　　　和　 　　　，如果通过变量　 　　　，　 　　　可以表示成　 　　　的函数，那么称这个函数为函数　 　　　和　 　　　的复合函数，记作　 　　　。　　

复合函数的导数  复合函数　 　　　的导数和函数　 　　　和　 　　　的导数间的关系为　 　　　，即　 　　　对　 　　　的导数等于　 　　　对　 　　　的导数与　 　　　对　 　　　的导数的乘积．　　

若　 　　　，则　 　　　　　

三．典例分析　　

例1（课本例4）求下列函数的导数：　　

（1）　 　　　；（2）　 　　　；

（3）　 　　　（其中　 　　　均为常数）．　　

   解：（1）函数　 　　　可以看作函数　 　　　和　 　　　的复合函数。根据复合函数求导法则有　　

   　　　　=　 　　　。　　

（2）函数　 　　　可以看作函数　 　　　和　 　　　的复合函数。根据复合函数求导法则有　　

   　　　　=　 　　　。　　

（3）函数　 　　　可以看作函数　 　　　和　 　　　的复合函数。根据复合函数求导法则有　　

   　　　　=　 　　　。　　

例2求　 　　　的导数．　　

解：　 　　　

　　　　

　　　　　　

【点评】　　

求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．　　

例3求　 　　　的导数．　　

解：　 　　　

　　　　，

　　　　　　

【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．　　

例4求y ＝sin⁴x ＋cos ⁴x的导数．　　

【解法一】y ＝sin ⁴x ＋cos ⁴x＝(sin²x ＋cos²x)²－2sin²cos²x＝1－　 　　　sin²2 x　　

＝1－　 　　　（1－cos 4 x）＝　 　　　＋　 　　　cos 4 x．y′＝－sin 4 x．　　

【解法二】y′＝(sin ⁴ x)′＋(cos ⁴ x)′＝4 sin ³ x(sin x)′＋4 cos ³x (cos x)′　　

＝4 sin ³ x cos x ＋4 cos ³ x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin ² x －cos ² x)　　

＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x　　

【点评】　　

解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．　　

例5曲线y ＝x（x ＋1）（2－x）有两条平行于直线y ＝x的切线，求此二切线之间的距离．　　

【解】y ＝－x ³ ＋x ² ＋2 x     y′＝－3 x ²＋2 x ＋2      　　

令y′＝1即3 x²－2 x －1＝0，解得  x ＝－　 　　　或x ＝1．　　

于是切点为P（1，2），Q（－　 　　　，－　 　　　），　　

过点P的切线方程为，y －2＝x －1即  x －y ＋1＝0．　　

显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为　　

　　　　＝　 　　　．　　

四．课堂练习　　

1．求下列函数的导数        (1) y =sinx³+sin³3x；（2）　 　　　;(3)　 　　　　　

2.求　 　　　的导数　　

　 　

　 　

五．回顾总结　　

　 　

　 　

六．布置作业　　

七．教学反思