§3.1.1 方程的根与函数的零点

§　3.1.1　 方程的根与函数的零点　　

                            泉州七中     陈修雄　　

一、教学目标　　

1．  知识与技能　　

①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．　　

②培养学生的观察能力．　　

③培养学生的抽象概括能力．　　

2．  过程与方法　　

①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．　　

②让学生归纳整理本节所学知识．　　

3．  情感、态度与价值观　　

在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．　　

二、教学重点、难点　　

    重点  零点的概念及存在性的判定．　　

难点  零点的确定．　　

三、学法与教学用具　　

1．  学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。　　

2．  教学用具：投影仪。　　

四、教学设想　　

(一)创设情景，揭示课题　　

1、提出问题：一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数　　

y=ax²+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？　　

2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：　　

（用投影仪给出）　　

①方程　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　与函数　 　　　　　

②方程　 　　　与函数　 　　　　　

          ③方程　 　　　与函数　 　　　　　

　　　　    　　　　    　 　　　 　　

　 　

1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和　 　　　轴交点坐标的关系，引出零点的概念．　　

　 　

生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．　　

师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？　　

（二）   互动交流  研讨新知　　

函数零点的概念：　　

对于函数　 　　　，把使　 　　　成立的实数　 　　　叫做函数　 　　　的零点．　　

函数零点的意义：　　

函数　 　　　的零点就是方程　 　　　实数根，亦即函数　 　　　的图象与　 　　　轴交点的横坐标．　　

即：　　

方程　 　　　有实数根　 　　　函数　 　　　的图象与　 　　　轴有交点　 　　　函数　 　　　有零点．　　

函数零点的求法：　　

求函数　 　　　的零点：　　

①（代数法）求方程　 　　　的实数根；　　

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数　 　　　的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．　　

　 　

1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．　　

生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：　　

①代数法；　　

　  ②几何法．　　

2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．　　

二次函数的零点：　　

二次函数　　

　　　　　　 　　　．　　

（１）△＞０，方程　 　　　有两不等实根，二次函数的图象与　 　　　轴有两个交点，二次函数有两个零点．　　

（２）△＝０，方程　 　　　有两相等实根（二重根），二次函数的图象与　 　　　轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．　　

（３）△＜０，方程　 　　　无实根，二次函数的图象与　 　　　轴无交点，二次函数无零点．　　

3．零点存在性的探索：　　

（Ⅰ）观察二次函数　 　　　的图象：　　

① 在区间　 　　　上有零点______；　　

　　　　_______，　 　　　_______,　　

　　　　·　 　　　_____0（＜或＞＝）．　　

② 在区间　 　　　上有零点______；　　

　　　　·　 　　　____0（＜或＞＝）．　　

（Ⅱ）观察下面函数　 　　　的图象　　

　　　　　　

① 在区间　 　　　上______(有/无)零点；　　

　　　　·　 　　　_____0（＜或＞＝）．　　

② 在区间　 　　　上______(有/无)零点；　　

　　　　·　 　　　_____0（＜或＞＝）．　　

③ 在区间　 　　　上______(有/无)零点；　　

　　　　·　 　　　_____0（＜或＞＝）．　　

　 　

由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？　　

怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？　　

4．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．　　

师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．　　

生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．　　

师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．　　

（三）、巩固深化，发展思维　　

1．学生在教师指导下完成下列例题　　

例1．       求函数f(x)=㏑x＋2x －6的零点个数。　　

问题：　　

（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？　　

（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？　　

例2．求函数　 　　　，并画出它的大致图象．　　

师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．　　

生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．　　

2．P97页练习第二题的（1）、（2）小题　　

（四）、归纳整理，整体认识　　

1．  请学生回顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪些；　　

2．  在本节课的学习过程中，还有哪些不太明白的地方，请　向　老师提出。　　

（五）、布置作业　　

      P102页练习第二题的（3）、（4）小题。