教学案例《简单的线性规划问题》

教学案例《简单的线性规划问题》　　

                           　　

一、教学内容分析　　

普通高中课程标准教科书数学5（必修）第三章第3课时　　

这是一堂关于简单的线性规划的“问题教学”．　　

线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题.　　

简单的线性规划（涉及两个变量）关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成.突出体现了优化的思想．　　

教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等的概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.　　

 　　

二、学生学习情况分析　　

本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，又通过实例，理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化为数学问题. 从数学知识上看，问题涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这都成了学生学习的困难．　　

三、设计思想　　

本课以问题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，以几何画板作为平台，激发他们动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，“从具体到一般”的抽象思维过程，应用“数形结合”的思想方法，培养学生的学会分析问题、解决问题的能力。　　

四、教学目标　　

1．了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；理解线性规划问题的图解法；会利用图解法求线性目标函数的最优解．　　

2．在实验探究的过程中，让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生的数据分析能力、探索能力、合情推理能力及动手操作、勇于探索的精神；　　

3、在应用图解法解题的过程中,培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力，体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用.　　

五、教学重点和难点　　

求线性目标函数的最值问题是重点；从数学思想上看，学生对为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？以及如何想到要这样转化？存在一定疑虑及困难；教学应紧扣问题实际，通过突出知识的形成发展过程，引入数学实验来突破这一难点． 　　

　 　

六、教学过程设计　　

（一）引入　　

（1）情景　　

某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h.该产每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？　　

请学生读题，引导阅读理解后，列表 →建立数学关系式 → 画平面区域，学生就近既分工又合作，教师关注有多少学生写出了线性数学关系式，有多少学生画出了相应的平面区域，在巡视中并发现代表性的练习进行展示，强调这是同一事物的两种表达形式数与形.　　

【问题情景使学生感到数学是自然的、有用的，学生已初步学会了建立线性规划模型的三个过程：列表 →建立数学关系式→ 画平面区域，可放手让学生去做，再次经历从实际问题中抽象出数学问题的过程，教师则在数据的分析整理、表格的设计上加以指导】　　

教师打开几何画板，作出平面区域.　　

（2）问题　　

师：进一步提出问题，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？　　

学生不难列出函数关系式　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.　　

师：这是关于变量　 　　　的一次解析式，从函数的观点看　 　　　的变化引起z的变化，而　 　　　是区域内的动点的坐标，对于每一组　 　　　的值都有唯一的z值与之对应，请算出几个z的值. 填入课前发下的实验探究报告单中的第２—４列进行观察,看看你有什么发现？　　

学生会选择比较好算的点，比如整点、边界点等.　　

　　　　　　　　

　　　　【学生思维的最近发现区是上节的相关知识，因此教师有目的引导学生利用几何直观解决问题，虽然这个过程计算比较繁琐，操作起来有难度，但是教学是一个过程，从中让学生体会科学探索的艰辛，这样引导出教科书给出的数形结合的合理性，也为引入信息技术埋下伏笔】　　

（二）实验　　

　 　

教师打开画板，当堂作出右图，在区域内任意取点，进行计算,请学生与自己的数据对比，继续在实验探究报告单上补充填写画板上的新数据.　　

　 　

　 　

　　

利润最大的实验探究报告单　　 实验目的　　 (1)            求　 　　　的最大值，使　 　　　满足约束条件　 　　　　　 (2)           理解用图解法求线性规划问题的最优解，体会数形结合的思想. 　　 进行实验与收集数据　　 (1)打开几何画板依次画出点、线构造平面区域;　　 (2)在区域内任取一点M，度量横坐标及纵坐标，计算　 　　　=　 　　　的值，并制表显示在屏幕上;　　 (3)拖动点M在区域内运动，观察度量值　 　　　的变化，猜想　 　　　取得最大值时点M的位置.同时请学生将有代表性的位置的数据记录在下表中的第２—5列：　　 　 　 计数点n　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 点的坐标　　 直线的方程　　 直线在y轴上的截距　　 1　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 2　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 3　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 4　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 5　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 6　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 7　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 猜想与假设_______________________________________________________

　　　　教师引导学生提出猜想：点M的坐标为（４，２）时，　 　　　=　 　　　取得最大值14.　　

【在信息技术与课程整合过程中，为改变老师单机的演示学生被动观看的现状，让学生参与进来，老师（可以根据学生要求）操作，学生记录，共同提出猜想，在当前技术条件受限时不失为一个好方法】　　

师：这有限次的实验得来的结论可靠吗？我们毕竟无法取遍所有点，因为区域内的点是无数的！况且没有计算机怎么办，数据复杂手工无法计算怎么办？因此，有必要寻找操作性强的可靠的求最优解的方法.　　

【形成认知冲突，激发求知欲望，调整探究思路，寻找解决问题的新方法】　　

继续观察实验报告单，聚焦每一行的点坐标和对应的度量值，比如M（3.2, 1.2）时方程是　 　　　，填写表中的第6—7列，引导学生先在点与直线之间建立起联系 ------点M的坐标是方程　 　　　的解，那么点M就应该在直线　 　　　上，反过来直线　 　　　经过点M，当然也就经过平面区域，所以点M的运动就可转化为直线的平移运动。　　

　　

　　　　教师拖动直线并跟踪，学生看到直线平移时可以取遍区域内的所有点！这样我们的猜想就非常合乎情理了.然后顺利过渡到直线与平面区域之间的关系.　　

师：由于我们可以将x，y所满足的条件用平面区域表示了，你能否也给利润z=2x+3y作出几何解释呢？

学生很自然地联想到上面实验的结果，将等式z=2x+3y视为关于x，y的一次方程，它在几何上表示直线，当z取不同的值时可得到一族平行直线.　　

请把你猜想1换一种说法：　　

猜想与假设2_______________________________________________________　　

直线　 　　　=　 　　　经过点（４，２）时，　 　　　=　 　　　取得最大值14.　　

将直线　 　　　=　 　　　改写为　 　　　，这时你能把猜想2再换一种说法吗？　　

此时水到渠成.　　

猜想与假设3_______________________________________________________　　

　 　

直线　 　　　经过点Ｍ时，在y轴上的截距最大，此时　 　　　=　 　　　取得最大值14.　　

最后探究出“　 　　　=　 　　　最值问题可转化为经过可行域的直线　 　　　在y轴上的截距的最值问题”来解决，实现其图解的目的.　　

【借助计算机技术用运动变化的方法，创设实验环境，形成多元联系，展示数学关系式、平面区域、表格等各种形态的表现形式，在数、图、表的关联中进行观察、分析，从而逐步帮助学生进行有层次的猜想，也为我们的研究提供一种方向，这是新课程积极倡导的合情推理】　　

     教师介绍线性规划、线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念.　　

(三)探究　　

师：在上述问题中，若生产一件甲产品获利３万元，生产一件乙产品获利２万元，又应当如何安排生产才能获得最大的利润？再换几组数据试试（课本第100页）　　

 让学生“主动”更换数据，教师借助几何画板“被动”地进行操作演示，师生继续实验 …，发现结论同样成立. 进一步发现目标函数直线的纵截距与z的最值之间的关系，有时并不是截距越大，z值越大.　　

实验结论_______________________________________________________　　

“目标函数的最值问题可转化直线z =2x+3y与平面区域有公共点时，在区域内找一个点M，使直线经过点M时在y轴上的截距最大”　　

【从笔算到计算，从点到直线再到平面（区域），从一个函数到多个函数，从特殊到一般，从具体到抽象的认识过程，使学生经历数学知识形成、发现、发展的过程，获得问题的解决，这有助于培养学生的科学素养】　　

　 　

（四）练习小结　　

学生练习Ｐ104第1题.　　

[及时检验学生利用图解法解线性规划问题的情况，练习目的：会用数形结合思想，将求　 　　　的最大值转化为直线　 　　　与平面区域有公共点时，在区域内找一个点Ｍ，使直线经过点Ｍ时在y轴上的截距最小的问题，为节省时间，教师可预先画好平面区域，让学生把精力集中到求最优解的解决方案上]　　

（五）实例展示　　

（课本第100页例5饮食营养搭配）　　

营养学家指出，成人良好的日常饮食至少应该提供　0.075kg　的碳水化合物， 　0.06kg　的蛋白质，　0.06kg　的脂肪　.1kg　食物A含有　0.105kg　的碳水化合物，　0.07kg　的蛋白质，　0.14kg　的脂肪，花费28元；而　1kg　食物B含有　0.105kg　的碳水化合物，　0.14kg　的蛋白质，　0.07kg　的脂肪，花费21元.为了满足营养学家的指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg?　　

　 　

【一是使学生认识到现实生活中存在许多简单的二元线性规划问题，二是让学生经历完整的分析研究问题、制定解决问题的策略的过程，让学生全面参与课堂教学，完善知识结构体系】　　

　 　

这里要关注平面区域本题是开放型的，而引例是封闭型的.　　

（六）课后伸申　　

师：在上述线性规划问题中，线性约束条件及线性目标函数是确定的，求最优解.这是问题的一方面，另一方面

(1)若要求结果为整数呢？最优解是在哪？

(2)若已知有唯一（或无数）最优解时，反过来确定线性约束条件或目标函数某些字母系数的取值（范围），又如何解决呢？　　

（七）小结　　

求最优解的一般步骤（板书）：　　

(1)画线性约束条件所确定的平面区域；　　

(2)取目标函数z=0,过原点作相应的直线；　　

(3)平移该直线，观察确定区域内最优解的位置；　　

(4)解有关方程组求出最优解，代入目标函数得最值.　　

作业：第104页练习2，第106页习题3—4，第107页习题3.　　

七、教学反思　　

为了将学生从繁琐的数字计算和画区域图中解脱出来，将精力放在对最优解的理解和突出思想方法上，可根据下列不同的情况，设计教学条件，支持教学．　　

(1)理想的实验应该是在网络环境的支持下完成的，教学之前，老师将积件传输到学生的计算机中，学生在单机的条件下自己动手操作．　　

(2)在学生缺乏信息技术工具的条件下，教学和作业都应避免繁琐的计算，而把注意力放在“算理”上．　　

另外数学探究的时间长会使学生失去耐心，基本训练时间无法保证，导致当前效果不直接，　　

教学评价难以跟进，教师宜把握尺度、控制时间，组织起有效的课堂教学，提高驾驭课堂的能力与水平.