圆锥曲线

圆锥曲线　　

1.圆锥曲线的两个定义：　　

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，F　 　　　的距离的和等于常数　 　　　，且此常数　 　　　一定要大于　 　　　，当常数等于　 　　　时，轨迹是线段F　 　　　F　 　　　，当常数小于　 　　　时，无轨迹；双曲线中，与两定点F　 　　　，F　 　　　的距离的差的绝对值等于常数　 　　　，且此常数　 　　　一定要小于|F　 　　　F　 　　　|，定义中的“绝对值”与　 　　　＜|F　 　　　F　 　　　|不可忽视。若　 　　　＝|F　 　　　F　 　　　|，则轨迹是以F　 　　　，F　 　　　为端点的两条射线，若　 　　　﹥|F　 　　　F　 　　　|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如（1）已知定点　 　　　，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A．　 　　　 B．　 　　　 C．　 　　　        D．　 　　　（答：C）；（2）方程　 　　　表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）　　

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率　 　　　。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点　 　　　及抛物线　 　　　上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）　　

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：　　

（1）椭圆：焦点在　 　　　轴上时　 　　　（　 　　　）　 　　　　　　　（参数方程，其中　 　　　为参数），焦点在　 　　　轴上时　 　　　＝1（　 　　　）。方程　 　　　表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。如（1）已知方程　 　　　表示椭圆，则　 　　　的取值范围为____（答：　 　　　）；（2）若　 　　　，且　 　　　，则　 　　　的最大值是____，　 　　　的最小值是___（答：　 　　　）　　

（2）双曲线：焦点在　 　　　轴上：　 　　　 =1，焦点在　 　　　轴上：　 　　　＝1（　 　　　）。方程　 　　　表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。如（1）双曲线的离心率等于　 　　　，且与椭圆　 　　　有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：　 　　　）；（2）设中心在坐标原点　 　　　，焦点　 　　　、　 　　　在坐标轴上，离心率　 　　　的双曲线C过点　 　　　，则C的方程为_______（答：　 　　　）　　

（3）抛物线：开口向右时　 　　　，开口向左时　 　　　，开口向上时　 　　　，开口向下时　 　　　。　　

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：　　

（1）椭圆：由　 　　　　　　　,　 　　　　　　　分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程　 　　　表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：　 　　　）　　

（2）双曲线：由　 　　　　　　　,　 　　　　　　　项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；　　

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。　　

特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F　 　　　，F　 　　　的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数　 　　　，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，　 　　　最大，　 　　　，在双曲线中，　 　　　最大，　 　　　。　　

4.圆锥曲线的几何性质：　　

（1）椭圆（以　 　　　（　 　　　）为例）：①范围：　 　　　；②焦点：两个焦点　 　　　；③对称性：两条对称轴　 　　　，一个对称中心（0,0），四个顶点　 　　　，其中长轴长为2　 　　　，短轴长为2　 　　　；④准线：两条准线　 　　　； ⑤离心率：　 　　　，椭圆　 　　　　　　　，　 　　　越小，椭圆越圆；　 　　　越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆　 　　　的离心率　 　　　，则　 　　　的值是__（答：3或　 　　　）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：　 　　　）　　

（2）双曲线（以　 　　　（　 　　　）为例）：①范围：　 　　　或　 　　　；②焦点：两个焦点　 　　　；③对称性：两条对称轴　 　　　，一个对称中心（0,0），两个顶点　 　　　，其中实轴长为2　 　　　，虚轴长为2　 　　　，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为　 　　　；④准线：两条准线　 　　　； ⑤离心率：　 　　　，双曲线　 　　　　　　　，等轴双曲线　 　　　　　　　，　 　　　越小，开口越小，　 　　　越大，开口越大；⑥两条渐近线：　 　　　。如（1）双曲线的渐近线方程是　 　　　，则该双曲线的离心率等于______（答：　 　　　或　 　　　）；（2）双曲线　 　　　的离心率为　 　　　，则　 　　　=                （答：4或　 　　　）；（3）设双曲线　 　　　（a>0,b>0）中，离心率e∈[　 　　　,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（答：　 　　　）； 　　

（3）抛物线（以　 　　　为例）：①范围：　 　　　；②焦点：一个焦点　 　　　，其中　 　　　的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴　 　　　，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线　 　　　； ⑤离心率：　 　　　，抛物线　 　　　　　　　。如设　 　　　，则抛物线　 　　　的焦点坐标为________（答：　 　　　）；　　

5、点　 　　　和椭圆　 　　　（　 　　　）的关系：（1）点　 　　　在椭圆外　 　　　　　　　；（2）点　 　　　在椭圆上　 　　　　　　　＝1；（3）点　 　　　在椭圆内　 　　　　　　　　　

6．直线与圆锥曲线的位置关系：　　

（1）相交：　 　　　　　　　直线与椭圆相交； 　　　　直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有　 　　　，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故　 　　　是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；　 　　　直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有　 　　　，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故　 　　　也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（1）若直线y=kx+2与双曲线x²-y²=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______（答：(-　 　　　,-1)）；（2）直线y―kx―1=0与椭圆　 　　　恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；（3）过双曲线　 　　　的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）；　　

（2）相切：　 　　　　　　　直线与椭圆相切；　 　　　　　　　直线与双曲线相切；　 　　　　　　　直线与抛物线相切；　　

（3）相离：　 　　　　　　　直线与椭圆相离；　 　　　　　　　直线与双曲线相离；　 　　　　　　　直线与抛物线相离。　　

特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线　 　　　＝1外一点　 　　　的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。如（1）过点　 　　　作直线与抛物线　 　　　只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；（2）过点(0,2)与双曲线　 　　　有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（答：　 　　　）；（3）过双曲线　 　　　的右焦点作直线　 　　　交双曲线于A、B两点，若　 　　　4，则满足条件的直线　 　　　有____条（答：3）；（4）对于抛物线C：　 　　　，我们称满足　 　　　的点　 　　　在抛物线的内部，若点　 　　　在抛物线的内部，则直线　 　　　：　 　　　与抛物线C的位置关系是_______（答：相离）；（5）过抛物线　 　　　的焦点　 　　　作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是　 　　　、　 　　　，则　 　　　_______（答：1）；（6）设双曲线　 　　　的右焦点为　 　　　，右准线为　 　　　，设某直线　 　　　交其左支、右支和右准线分别于　 　　　，则　 　　　和　 　　　的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）；（7）求椭圆　 　　　上的点到直线　 　　　的最短距离（答：　 　　　）；（8）直线　 　　　与双曲线　 　　　交于　 　　　、　 　　　两点。①当　 　　　为何值时，　 　　　、　 　　　分别在双曲线的两支上？②当　 　　　为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：①　 　　　；②　 　　　）；　　

7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径　 　　　，其中　 　　　表示P到与F所对应的准线的距离。如（1）已知椭圆　 　　　上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：　 　　　）；（2）已知抛物线方程为　 　　　，若抛物线上一点到　 　　　轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；（3）若该抛物线上的点　 　　　到焦点的距离是4，则点　 　　　的坐标为_____（答：　 　　　）；（4）点P在椭圆　 　　　上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_______（答：　 　　　）；（5）抛物线　 　　　上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到　 　　　轴的距离为______（答：2）；（6）椭圆　 　　　内有一点　 　　　，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使　 　　　 之值最小，则点M的坐标为_______（答：　 　　　）；　　

8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点　 　　　到两焦点　 　　　的距离分别为　 　　　，焦点　 　　　的面积为　 　　　，则在椭圆　 　　　中， ①　 　　　＝　 　　　，且当　 　　　即　 　　　为短轴端点时，　 　　　最大为　 　　　　　　　＝　 　　　；②　 　　　，当　 　　　即　 　　　为短轴端点时，　 　　　的最大值为bc；对于双曲线　 　　　的焦点三角形有：①　 　　　；②　 　　　。如（1）短轴长为　 　　　，离心率　 　　　的椭圆的两焦点为　 　　　、　 　　　，过　 　　　作直线交椭圆于A、B两点，则　 　　　的周长为________（答：6）；（2）设P是等轴双曲线　 　　　右支上一点，F₁、F₂是左右焦点，若　 　　　，|PF₁|=6，则该双曲线的方程为           （答：　 　　　）；（3）椭圆　 　　　的焦点为F₁、F₂，点P为椭圆上的动点，当·<0时，点P的横坐标的取值范围是                  （答：　 　　　）；（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝　 　　　，F₁、F₂是它的左右焦点，若过F₁的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且　 　　　是　 　　　与　 　　　等差中项，则　 　　　＝__________（答：　 　　　）；（5）已知双曲线的离心率为2，F₁、F₂是左右焦点，P为双曲线上一点，且　 　　　，　 　　　．求该双曲线的标准方程（答：　 　　　）；　　

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A　 　　　，B　 　　　，若P为A　 　　　B　 　　　的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

10、弦长公式：若直线　 　　　与圆锥曲线相交于两点A、B，且　 　　　分别为A、B的横坐标，则　 　　　＝　 　　　，若　 　　　分别为A、B的纵坐标，则　 　　　＝　 　　　，若弦AB所在直线方程设为　 　　　，则　 　　　＝　 　　　。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。如（1）过抛物线y²=4x的焦点作直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，若x₁+x₂=6，那么|AB|等于_______（答：8）；（2）过抛物线　 　　　焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：3）；　　

11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆　 　　　中，以　 　　　为中点的弦所在直线的斜率k=－　 　　　；在双曲线　 　　　中，以　 　　　为中点的弦所在直线的斜率k=　 　　　；在抛物线　 　　　中，以　 　　　为中点的弦所在直线的斜率k=　 　　　。如（1）如果椭圆　 　　　弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是        （答：　 　　　）；（2）已知直线y=－x+1与椭圆　 　　　相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：　 　　　）；（3）试确定m的取值范围，使得椭圆　 　　　上有不同的两点关于直线　 　　　对称（答：　 　　　）； 　　

特别提醒：因为　 　　　是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验　 　　　！　　

12．你了解下列结论吗？　　

（1）双曲线　 　　　的渐近线方程为　 　　　；　　

（2）以　 　　　为渐近线（即与双曲线　 　　　共渐近线）的双曲线方程为　 　　　为参数，　 　　　≠0）。如与双曲线　 　　　有共同的渐近线，且过点　 　　　的双曲线方程为_______（答：　 　　　）　　

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为　 　　　；　　

（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为　 　　　，焦准距（焦点到相应准线的距离）为　 　　　，抛物线的通径为　 　　　，焦准距为　 　　　； 　　

（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；　　

（6）若抛物线　 　　　的焦点弦为AB，　 　　　，则①　 　　　；②　 　　　　　

（7）若OA、OB是过抛物线　 　　　顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点　 　　　　　

13．动点轨迹方程：　　

（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；　　

（2）求轨迹方程的常用方法：　　

①直接法：直接利用条件建立　 　　　之间的关系　 　　　；如已知动点P到定点F(1,0)和直线　 　　　的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答：　 　　　或　 　　　）；　　

②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）　 　　　，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为                                   （答：　 　　　）；　　　

③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1)由动点P向圆　 　　　作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60⁰，则动点P的轨迹方程为                   （答：　 　　　）；（2）点M与点F(4,0)的距离比它到直线　 　　　的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答：　 　　　）；(3) 一动圆与两圆⊙M：　 　　　和⊙N：　 　　　都外切，则动圆圆心的轨迹为       （答：双曲线的一支）；　　

④代入转移法：动点　 　　　依赖于另一动点　 　　　的变化而变化，并且　 　　　又在某已知曲线上，则可先用　 　　　的代数式表示　 　　　，再将　 　　　代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点P是抛物线　 　　　上任一点，定点为　 　　　,点M分　 　　　所成的比为2，则M的轨迹方程为__________（答：　 　　　）；　　

⑤参数法：当动点　 　　　坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将　 　　　均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点　 　　　，使　 　　　，求点　 　　　的轨迹。（答：　 　　　）；（2）若点　 　　　在圆　 　　　上运动，则点　 　　　的轨迹方程是____（答：　 　　　）；（3）过抛物线　 　　　的焦点F作直线　 　　　交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________（答：　 　　　）；　　

　　　　　　注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆　 　　　的左、右焦点分别是F₁（－c，0）、F₂（c，0），Q是椭圆外的动点，满足　 　　　点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足　 　　　（1）设　 　　　为点P的横坐标，证明　 　　　；（2）求点T的轨迹C的方程；（3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F₁MF₂的面积S=　 　　　若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，请说明理由. （答：（1）略；（2）　 　　　；（3）当　 　　　时不存在；当　 　　　时存在，此时∠F₁MF₂＝2）　　

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.　　

③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.　　

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.

14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：　　

（1） 给出直线的方向向量　 　　　或　 　　　；　　

（2）给出　 　　　与　 　　　相交,等于已知　 　　　过　 　　　的中点;　　

（3）给出　 　　　,等于已知　 　　　是　 　　　的中点;　　

（4）给出　 　　　,等于已知　 　　　与　 　　　的中点三点共线;　　

（5） 给出以下情形之一：①　 　　　；②存在实数　 　　　；③若存在实数　 　　　,等于已知　 　　　三点共线.　　

（6） 给出　 　　　，等于已知　 　　　是　 　　　的定比分点，　 　　　为定比，即　 　　　　　

（7） 给出　 　　　,等于已知　 　　　,即　 　　　是直角,给出　 　　　,等于已知　 　　　是钝角, 给出　 　　　,等于已知　 　　　是锐角,　　

（8）给出　 　　　,等于已知　 　　　是　 　　　的平分线/　　

（9）在平行四边形　 　　　中，给出　 　　　，等于已知　 　　　是菱形;　　

（10） 在平行四边形　 　　　中，给出　 　　　，等于已知　 　　　是矩形;　　

（11）在　 　　　中，给出　 　　　，等于已知　 　　　是　 　　　的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；　　

（12） 在　 　　　中，给出　 　　　，等于已知　 　　　是　 　　　的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；　　

（13）在　 　　　中，给出　 　　　，等于已知　 　　　是　 　　　的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；　　

（14）在　 　　　中，给出　 　　　　　　　　　　　等于已知　 　　　通过　 　　　的内心；　　

（15）在　 　　　中，给出　 　　　等于已知　 　　　是　 　　　的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；　　

（16） 在　 　　　中，给出　 　　　,等于已知　 　　　是　 　　　中　 　　　边的中线;